Ecuaciones logarítmicas (4)

Los siguientes ejemplos han sido elaborados por nuestros compañeros Clara de Quinto Saco, Ana Montes Gómez y Antonio Morcillo. Muchas gracias, seguro que resultarán útiles al grupo.

 Ejemplo #1 | log(x+6) = 1 + log(x-3). Clara de Quinto Saco. 

Pasamos todos los logaritmos al miembro de la izquierda y los agrupamos en un único logaritmo:

log(x+6) – log(x-3) = 1;

log[(x+6) / (x-3)] = 1

Transformamos la ecuación logarítmica en una potencia aplicando la definición de logaritmo:

( a^b = c ↔ logac = b )

(x+6) / (x-3) = 10

Pasamos el binomio del denominador al miembro de la derecha:

x + 6 = 10·(x-3)

Aplicamos la propiedad distributiva y obtenemos una ecuación de 1er grado. Pasamos todos los miembros de la ecuación que contengan "x" a la izquierda y los números a la derecha:

x + 6 = 10x - 30;

x - 10x = -30 - 6;

-9x = -36

Obtenemos una única solución, x = 4, que tras llevarla a la ecuación original, vemos que es válida.

 Ejemplo #2 | log(7x+15) - log5 = 1. Ana Montes Gómez. 

Agrupamos todos los logaritmos de la izquierda en una sola expresión:

log[ (7x+15) / 5 ] = 1

Transformamos la expresión en una potencia mediante la definición de logaritmo:

(7x+15) / 5 = 10^1

Pasamos el denominador multiplicando a la derecha, logrando una ecuación de 1er grado:

7x + 15 = 50;

7x = 35

De esa ecuación obtenemos como única solución x = 5. Tras llevarla a la ecuación original, vemos que es válida.

 Ejemplo #3 | log x + log (x+3) = 2 log (x+1). Antonio Morcillo. 

En el primer miembro aplicamos la propiedad que transforma la suma de los logaritmos en un único logaritmo, cuyos argumentos están multiplicando. En el de la derecha, la propiedad del logaritmo de una potencia. Así:

log [ x·(x+3) ] = log [ (x+1)^2 ]

Igualamos los argumentos, obteniendo una ecuación polinómica de 1er grado (aunque aparentemente sea de 2º):

x·(x+3) = (x+1)^2;

x^2 + 3x = x^2 + 2x + 1

Alcanzamos una única solución, x = 1, que verifica la ecuación logarítmica original.