Sistemas de ecuaciones no lineales (3)

Los sistemas de ecuaciones no lineales, al igual que los sistemas lineales, pueden ser resueltos mediante representación gráfica. Para ello, es necesario tener cierta destreza a la hora de transformar nuestras ecuaciones en funciones explícitas, es decir, funciones en las que aparece despejada la variable "y".

Sólo en algunos casos, dicha representación gráfica será un proceso sencillo. En la mayoría de las ocasiones vamos a enfrentarnos a funciones que no sabemos representar con las herramientas matemáticas de las que disponemos en este nivel.

Sin embargo, existe una infinidad de aplicaciones, sea cual sea la plataforma que utilicemos (web, Windows, Mac, Android, Linux...), que permiten representar gráficamente cualquier función con solo introducir su expresión. La inmensa mayoría de ellas incluso nos permite representar simultáneamente varias funciones en una misma gráfica, lo cual es perfecto para encontrar su intersección.

En esta entrada del blog vamos a centrarnos en el buscador de Google, ya que, si expresamos adecuadamente nuestros términos de búsqueda, se convierte en una herramienta de representación gráfica tremendamente potente. Al margen de esto, resulta una herramienta multiplataforma, puesto que podemos hacer uso de ella desde nuestro ordenador (portátil o sobremesa), tablet, móvil o incluso smart TV. Es más, no importa qué navegador estemos usando (Firefox, Chrome, Safari, Explorer...).

 Ejemplo #1 | 3xy + x = 7 ; x + 2y = 5 

Como hemos mencionado, vamos a resolver este sistema por el método gráfico. Para ello debemos multiplicar despejar la incógnita "y" en ambas ecuaciones, transformándolas así en funciones explícitas:

 y = ( 5 - x ) / 2 
 y = ( 7 - x ) / 3x 

Si queremos representar gráficamente ambas funciones usando Google, solamente tenemos que escribir en el cuadro de búsqueda esas dos expresiones separadas por una coma tal y como mostramos en el cuadro verde:

El resultado de nuestra representación gráfica son dos funciones que podemos distinguir porque aparecen con colores diferentes. En este caso, hay dos intersecciones y, por tanto, dos parejas de soluciones. Para expresarlas correctamente, sería recomendable hacer zoom sobre cada una de ellas y anotar las coordenadas "x" e "y" de ambos puntos.

Este método tiene un inconveniente, puesto que si las soluciones son números que no coinciden con una división de los ejes, solamente podremos obtener una aproximación de la misma. Para obtener las soluciones exactas no hay que emplear los otros métodos.

Si seguimos el método de sustitución para resolver este mismo sistema de ecuaciones no lineal alcanzamos dos soluciones también:

• x1 = 1 ; y1 = 2
• x2 = 14/3 ; y2 =1/6

Una vez llevadas al sistema de ecuaciones original, comprobamos que ambas parejas de soluciones son válidas.