Ecuaciones exponenciales (3)

A continuación encontraréis los ejemplos enviados por algunos de nuetros compañeros sobre ecuaciones exponenciales.

 Ejemplo #1 | 4^x - 2^(x+1) = 8. Víctor Sabariego Escolar. 

Vamos a transformar 4^x en una potencia de base 2 para qu todas las expresiones exponenciales tengan la misma base. Además, aplicando las propiedades de las potencias 2^(x+1)= 2·2^x. Llevar todos estos cambios a la ecuación:

(2^2)^x -2·2^x = 8

Aplicamos el cambio de variable t = 2^x, t^2 = 2^(2x). De este modo, la ecuación obtenida es:

t^2 - 2t - 8 = 0

Se trata de una ecuación de 2º grado completa, que resolvemos aplicando la fórmula. Sus soluciones son t = 4 y t = -2. Debemos deshacer el cambio de variable. Así pues:

• Si t = 4 ==> 2^x = 4 ==> 2^x = 2^2 ==> x = 2 
• Si t = -2 ==> 2^x = -2 ==> No tiene solución.

Por tanto obtenemos una única solución, x = 2. Tras llevarla a la ecuación original, comprobamos que es válida.

 Ejemplo #2 | 4^x – 9·2^x + 8 = 0. Pablo Rivero Mohedano. 

Lo primero que vamos a hacer es escribir el término 4^x como una potencia de base 2.

(2^x)^2 – 9(2^x) + 8  =  0

A continuación, sustituimos la expresión 2^x por otra incógnita más sencilla para trabajar ("t"). Dicho de otra forma, realizamos un cambio de variable.

t^2 - 9t + 8 = 0

Obtenemos una ecuación polinómica de 2º grado. De esta ecuación obtenemos dos soluciones, t = 1 y t = 8. Sin embargo, nuestro objetivo es conocer el valor de "x" que verifica la ecuación inicial. Para ello debemos deshacer el cambio de variable:

• Si t = 1 ==> 2^x = 1 ==> 2^x = 2^0 ==> x = 0
• Si t = 4 ==> 2^x = 4 ==> 2^x = 2^2 ==> x = 2

Conseguimos dos soluciones, x = 0 y x = 2. Una vez llevadas a la ecuación original, vemos que ambas son válidas.

Ejemplo #1 | 5^x + 5^(x-1) + 5^(x+1) = 31. Víctor Sabariego Escolar.

 

Aplicamos las propiedades de las potencias para descomponer:

 

5^x + 5^x / 5 + 5^x·5 = 31

 

Hacemos el cambio de variable t = 5^x. Así la ecuación queda:

t + t /5 + 5t = 31;

5t + t + 25t = 155;

31t = 155

 

Obtenemos una ecuación de 1er grado en "t", cuya solución es t = 5. Por ultimo calculamos el valor de "x" deshaciendo el cambio:

• Si t = 5 ==> 5^x = 5 ==> 5^x = 5^1 ==> x = 1

La única solución obtenida, x = 1, es válida.