Ecuaciones exponenciales (5)

Más ejemplos sobre ecuaciones exponenciales. Los autores figuran junto al enunciado del ejercicio. Espero que os gusten.

 Ejemplo #1 | 7^(4-3x) = 6. Juan Garrido González. 

Aplicamos la definicion de logaritmo para resolver esta ecuación:

4 - 3x = log7 6;

-3x = log7 6 - 4;

x = - ( log7 6 - 4 ) / 3

Obtenemos una única solución, x = ( 4 - log7 6 ) / 3, que es válida.

 Ejemplo #2 | 4^x - 5·2^x + 4 = 0. Juan Garrido González. 

Aplicamos las propiedades de las potencias:

2^(2x) -5·2^x + 4 = 0

Realizamos un cambio de variable, t= 2^x y resolvemos con la fórmula de la ecuación de 2º grado:

t^2 - 5t + 4 = 0

Logramos dos soluciones en "t", pero debemos deshacer el cambio:

• 2^x = 4 ==> 2^x = 2^2 ==> x = 2
• 2^x = 1 ==> 2^x = 2^0 ==> x = 0

Se obtienen dos soluciones x = 0 y x = 2. Ambas, una vez hechas las comprobaciones en la ecuación original, son válidas.

 Ejemplo #3 | 3^x · 9^x = 729. Sofía Aroz Conde. 

En primer lugar, debemos tener la misma base para poder realizar el cambio de variable y operar. Utilizaremos las propiedades de las potencias para conseguir base 3. Vemos que 9 es 3 elevado al cuadrado, por lo que podríamos cambiarlo y quedaría tal que así:

3^x · 3^(2x) = 3^6

Ahora debemos realizar el cambio de variable. En este caso, sería t =3^x. Al sustituir, tenemos:

t · t^2 = 3^6

Volvemos a usar las propiedades de las potencias, al multiplicarse se suman los exponentes:

t^3 = 9^3

Con ello tenemos que t = 9. Ahora debemos deshacer el cambio:

•  Si t = 9 ==> 3^x = 3^2 ==> x = 2

Al final hemos encontrado que la solución es x = 2. Si sustituimos el resultado en la ecuación original, sabremos que es correcta.

Otra manera de resolver esta ecuación, sin necesidad del cambio de variable, sería:

 3^x · 3^(2x) = 3^(3x)

Así pues, la ecuación queda 3^(3x) = 3^6, por lo que 3x = 6. Volvemos a obtener la misma solución pese a seguir un camino distinto.