Sistemas de ecuaciones no lineales (7)

Estos son dos ejemplos más enviados por nuestros compañeros sobre sistemas de ecuaciones no lineales.

 Ejemplo #1 | x^2 + y^2 = 25; x + y = 7. Jorge López Nevado. 

Despejamos "y" en la segunda ecuación:

 y = 7 - ­ x 

Sustituimos en la primera ecuación, y obtenemos una ecuación de 2º grado. Operamos:

x^2 + (7 - ­ x)^2 = 25;

x^2 + 49 ­ - 14x + x^2 = 25;

2x^2 ­ - 14x + 24 = 0;

x^2 ­ - 7x + 12 = 0

Aplicamos la fórmula de las ecuaciones de 2º grado y conseguimos las soluciones x = 3 y x = 4. Debemos sustituir esos valores de "x" para obtener los correspondientes de la incógnita "y". Se logran estas dos parejas de soluciones (válidas, se puede comprobar en el sistema original):

• x1 = 3 → y1 = 4
• x2 = 4 → y2 = 3

 Ejemplo #2 | 2^x - 5^y = 3; 2^(x+2) - 5^(y+1) = 7. Javier Romero González. 

Se trata de un sistema de ecuaciones exponenciales, ya que las dos incógnitas se encuentran en el exponente de sendas potencia. A la hora de resolverlos, podemos usar varios métodos. En este caso usaremos reducción. Para ello, es necesario dejar en ambas ecuaciones las mismas expresiones exponenciales. Lo conseguimos aplicando las propiedades de las potencias:

    2^x -     5^y = 3

 4·2^x - 5·5^y = 7

Para reducir, multiplicamos la primera ecuación por (-4):

-4·2^x + 4·5^y = -12

 4·2^x -  5·5^y =  7      + 

----------------------------

     /     -  5^y  =  -5

Así pues: 5^y = 5. Obtenemos que y = 1. Para conseguir el valor correspondiente de "x", lo más sencillo en sustituir el valor de "y" en la primera ecuación y resolver una ecuación exponencial sencilla:

2^x - 5 = 3;

2^x = 8;

2^x = 2^3;

x = 3

En resumen, hemos obtenido una pareja de soluciones, que es válida:

• x = 3 → y = 1

El sistema del Ejemplo #2 se podría haber resuelto mediante un doble cambio de varable: a = 2^x, b = 5^y. Así el sistema se convierte en un sistema de ecuaciones lineales.

Después de aplicar el doble cambio de variable y multiplicar la primera ecuación por (-4) queda:

-4a + 4b = -12

 4a  - 5b =   7      + 

----------------------------

     /  -b  =  -5

Conseguimos que b = 5. Para calcular el valor de "a" correspondiente, lo más sencillo es sustituir en la primera ecuación:

a - b = 3;

a = 8

Para terminar nuestro sistema debemos deshacer los cambios:

• Si a = 8 → 2^x = 8 → 2^x = 2^3 → x = 3
• Si b = 5 → 5^y = 5 → 5^y = 5^1 → y = 1