Ecuaciones exponenciales (4)

Estos son los ejemplos enviados por algunos de nuestros compañeros sobre ecuaciones exponenciales. Espero que os sirvan de ayuda. Sus autores aparecen junto al enunciado de las ecuaciones.

 Ejemplo #1 | 9^x - 3^x - 6 = 0. Francisco Bérchez Moreno. 

Vamos a realizar una ecuación exponencial y para ello debemos realizar una serie de pasos. El primero es conseguir que todas las expresiones que tienen "x" en el exponente posean la misma base. En este caso, como 9 se puede escribir como 3^2, nos permite transformar la ecuación:

3^(2x) - 3^x - 6 = 0

A continuación reemplazamos t = 3^x, y 3^(2x) = t^2. Una vez hecho esto, conseguimos una ecuación de 2º grado.

t^2 - t - 6 = 0

Sus dos soluciones, usando la fórmula de la ecuación de 2º grado, son t = -2 y t = 3. Debemos ahora deshacer el cambio de variable para lograr los respectivos valores de "x":

• si t = -2 ==> 3^x = -2 ==> No tiene solución
• si t = 3 ==> 3^x = 3 ==> x = 1

Comprobamos en la ecuación original que la solución x = 1 es válida.

 Ejemplo #2 | 5^x + 5^(x+1) = 30. Francisco Bérchez Moreno. 

Vamos a realizar una ecuación exponencial. En esta ecuación aparece un término con 5^(x+1). Haciendo uso de las propiedades de las potencias, 5^x·5 = 5^(x+1). Por tanto:

5^x + 5^x·5 = 30

Una vez hecho esto, sustituiremos t = 5^x y realizaremos una ecuación sencilla de 1er grado.

t + 5t = 30;

6t = 30;

t = 30 / 6

La solución es t = 5. Deshaciendo el cambio de variable logramos:

• t = 5 ==> 5^x = 5 ==> 5^x = 5^1 ==> x = 1

Llevando x = 1 a la ecuación original, podemos ver que es válida.

 Ejemplo #3 | 2^(4-x) + 2^(x+2) - 16 = 0. Juan Garrido González. 

Primero, aplicamos las propiedades de las potencias para transformar la ecuación.

2^4 / 2^x + 2^x·2^2 - 16 = 0

Realizamos un cambio de variable t = 2^x:

2^4 / t + t·4 - 16 = 0

Eliminamos denominadores multiplicando cada término por "t":

2^4 + 4t^2 - 16t = 0

Ordenamos los términos y resolvemos con la ecuación de 2º grado:

4t^2 - 16t + 16 = 0

Obtenemos una solución doble, t = 2. Deshacemos el cambio de variable y hallamos las soluciones en "x":

• Si t = 2 ==> 2^x = 2^1 ==> x = 1

Comprobando en la ecuación original, vemos que x = 1 es una solución válida.