Ecuaciones logarítmicas (8)

Aquí disponéis de más ejemplos aportados por nuestros compañeros.

 Ejemplo #1 | log9 (x+1) - log9 (1-x) = log9 (2x+3). José Castillo Bonilla. 

Unimos los logaritmos del miembro de la izquierda:

log9 [ (x+1) / (1-x) ] = log9 (2x+3)

Igualamos los argumentos:

(x+1) / (1-x) = 2x + 3

El denominador de la izquierda pasa a la derecha multiplicando:

x + 1 = (2x+3)·(1-x)

Se realizan las operaciones, agrupamos y ordenamos:

x + 1 = 2x - 2x^2 + 3 - 3x;

2x^2 + 2x  -2 = 0;

x^2 + x - 1 = 0

Se realiza la ecuación de 2º grado y obtenemos dos soluciones, x = (-1+sqrt(5))/2 y x = (-1-sqrt(5))/2. Tan solo la primera de ellas es válida, x = (-1+sqrt(5))/2 ≈ 0.61803398875... La otra solución, al llevarla al primero de los dos logaritmos del miembro de la izquierda, nos da un argumento negativo y, por tanto, no es una solución válida.

 Ejemplo #2 | log (2x-3) + log (3x-2) = 2-log 25. Luna Luque Castilla. 

En primer lugar, el 2 lo convertimos en un logaritmo:

log (2x-3) + log (3x-2) = log 100 - log 25

A continuación agrupamos aplicando las propiedades de los logaritmos:

log [ (2x-3)·(3x-2) ] = log 100/25

Y ahora, quitamos los logaritmos igualando los argumentos:

(2x-3)·(3x-2) = 4;

6x^2 - 4x - 9x + 6 = 4;

6x^2 - 13x + 2 = 0

Obtenemos dos soluciones para esta ecuación, que son x = 2 y x = 1/6. Tras comprobarlas en la ecuación original solamente x = 2 es válida. Para x = 1/6 nos encontramos con que ninguna de las dos expresiones logarítmicas se puede calcular, ya que no existe el logaritmo (en base positiva) de números negativos.

 Ejemplo #3 | 2 log(5x+4) - 2 log2 = log(x+4). María Millán Carranza. 

Aplicamos las propiedades de los logaritmos para agrupar todos los términos de la izquierda:

 

log [ (5x+4)^2 ] - log [ 2^2 ] = log (x+4);

log [ (5x+4)^2 / 4 ] = log (x+4)

A continuación igualamos los argumentos y operamos:

( 25x^2 + 40x + 16 ) / 4 = x + 4;

25x^2 + 40x + 16 = 4x + 16;

25x^2 + 36x = 0;

x·(25x + 36) = 0

 

Obtenemos dos soluciones, x = 0 y x = -36/25. Al llevarlas a la ecuación original solamente x = 0 resulta ser válida.